Das Problem der 36 Offiziere

Die russische Zarin Katharina beauftragte 1766 den schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) mit der Lösung eines Tanzproblems. 36 Offiziere mit sechs verschiedenen Dienstgraden aus sechs verschiedenen Regimentern sollten sich so auf einer quadratischen Fläche aufstellen, dass in jeder Reihe und jeder Spalte ein Offizier eines Regiments und eines Dienstgrads steht. In der Mathematik ist das das Problem, zwei orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 zu finden.

Ein lateinisches Quadrat der Ordnung 3 zum Beispiel, besteht aus 3 Zeilen und 3 Spalten, wobei die Ziffern 1 bis 3 in jeder Zeile und jeder Spalte nur einmal vorkommen dürfen:



Zwei unterschiedliche lateinische Quadrate nennt man orthogonal, wenn beim Übereinanderlegen jedes geordnete Paar ebenfalls nur einmal vorkommt (siehe oben).

Es gibt insgesamt zwölf lateinische Quadrate der Ordnung 3, aber nur zwei der Ordnung 2. Diese sind nicht orthogonal, weil beim Übereinanderlegen ihre Kombinationen mehr als einmal vorkommen:

Bei Ordnung 6, mit der es Euler zu tun hatte, gibt es zwar 576 unterschiedliche lateinische Quadrate, trotzdem lassen sich keine zwei so kombinieren, dass sie orthogonal wären. Interessanterweise lassen sich außer für die Ordnungen 2 und 6 für alle anderen Ordnungen orthogonale lateinische Quadrate finden.

Schon Euler vermutete, dass sich Katharinas Aufgabe nicht lösen lässt, was aber erst 1902 durch den französischen Mathematiker Gaston Terry bewiesen werden konnte. Die Quadrate heissen deswegen lateinisch, weil Euler statt Ziffern lateinische Buchstaben verwendete. Orthogonale lateinische Quadrate werden auch griechisch-lateinische Quadrate genannt, weil für das zweite Quadrat dann griechische Buchstaben verwendet wurden. Das Problem hat im Laufe der Jahrhunderten zu wichtigen Arbeiten in der Kombinatorik geführt. Lateinische Quadrate spielen außerdem eine Rolle bei Fehlerkorrekturverfahren.

Links: Orthogonales lateinisches Quadrat der Ordnung 10: Farbsand auf Kappa-Leichtstoffplatte (50 x 50 cm).